Lieber Yuuta, ¶
es ist lange her, dassseit ich dir das letzte Mal geschrieben habe.

Oder: Ich habe dir schon lannge nicht (mehr) geschrieben.

Seit letzter Woche bin ich im Krankenhaus, weil meine Beine gebrochen sind.

Natürlicher: ...., weil ich mir beide Beine gebrochen habe.

Jetzt bewege ichIch kann mich noch nicht bewegen, aber geht es mir schon besser.

Stell dir vor, ich bin mit dem Fahrrad unterwegs gefahren, und plötzlich gab es einen Hund, den vor mein Fahrrist mir ein Hund vor das Rad gerannt ist.

Ich habe nicht rechtzeitig gebremst, den können. Deswegen bin ich vom Fahrrad gefallen.

"nicht rechtzeitig gebremst" bedeutet: Es war Deine Schuld; Du warst unaufmerksam.

Statt "Deswegen" ist hier "Dadurch" natürlicher, denn *durch* den Hund ist der Sturz passiert.

Wie wäre es, wenn du am Sonntag hierher kommst, um mich zu besuchen?

Korrekt, aber etwas unfreundlich. Du drängst Yuuta dadurch zu einem Besuch.
Höflicher wäre: "Es wäre sehr lieb/nett von Dir, wenn ..."

Seit letzter Woche bin ich im Krankenhaus, weil meine Beine gebrochen sind.

Jetzt bewege ich mich noch nicht, aber es geht es mir besser.

Stell dir vor, ich bin mit dem Fahrrad unterwegs gefahrwesen, plötzlich gab es einen Hund, den vor mein Fahrrad gerannt ist.