Récemment, j'ai regardé/vu Gilmore Girls avec ma famille.

"regarder" would be an even better pick, given the context

C'est un émission bonne et c'est trop douillette bonne série, très chaleureuse.

"une émission" is a very general term for any kind of broadcast content
A show with several episodes and seasons is called "une série"

A place can be cozy but definitely not a show
If the show feels nice, a bit soapy, playing a lot on family vibes/values etc it could be qualified as "bon enfant"

"trop" in the sense of "very" is pretty colloquial and slangy. I wouldn't really recommend it, unless the learner is quite advanced and can perceive that kind of nuances

Cette émissionsérie parle de la vie d'une meère et de sa fille àdans une ville peu dans New York (l'état)petite ville de l'État de New York.

OF a mother = D'une mère

"mère" is feminine => unE

DANS une ville (it's considered a closed space)

peu = few, little
small = petit

"State" in the sense of an administrative entity is always capitalized => l'État

L'émission aElle dégage une ambiance automnale, avec beaucoup de feuilles brunes/marron et une bande -sonore cet a avec des chansons sombre[tristes/mélancoliques ?] mais belles.

"elle" to avoid repeating "série"
"dégager" (which would roughly mean something like "radiate") would be even more elegant for ambiances and atmospheres
a lot of = beaucoup DE
"brunes" or "marron" would both be right, but the latter would be a lot more elegant
a soundtrack = une bande-son
Indefinite quantity of something countable = des => DES chansons (a relative would be unnecessary here)
Plural agreement => belleS

Les dialogues esont parfois mauvais, mais ce n’est pas important pas haha.

les dialogues = ilS => ilS SONT
The verb was missing => ce n'EST pas