오늘 어머니께서는 내일 이는다음날 있었던 내 동생 생일을 위해서 케이크를 굽고 있었다.

Since this whole journal is written in past tense, I think it should be 'the next day' instead of 'tomorrow'. Do you see why . ??

그런데, 어머니께서 케이크를 만들고 있으셨을 때, 달걀을 없다는 것을 깨달으셨고 (or 기억나하셨고) 달걀이 정말 필요했다.

기억하셨고 or 깨달으셨고( realized ) is better in this case :) though It's kind of hard to explain.

나는 내가 그걸 가게에서 살것이다고 하내가 달걀을 사러 가게에 가겠다고 말씀드렸지만, 20분 후에면 가게 문을이 닫겠어서,을 시간이었다. 그래서 나는 달걀을 사러 가게에서 빨리 나갔다.

말씀드리다.is an honorific expression that's used when the object( 어머니, here) is someone older than you.
말씀드렸다. is a past tense form of 말씀드리다.
말씀드렸지만 --> I told her , but

Other corrections are just to sound more natural , I feel

나는내가 가게으로 걸러갔어가고 있었을 때, 더러운 물이 너나를 갑자기 때렸다! (or 어디서 더러운 물이 갑자기 튀었다/ 떨어졌다.)

더러운물 ~ --> This phrase is grammatically correct, but in Korea, something that's not a person, or a living thing, is rarely used with an active verb, as a subject of a sentence. (Does my explanation make sense..?^^;)
So it would sound more natural if the verb were a passive voice. (dirty water was splashed / dropped from somewhere.)

*#@, 그거 뭐에요!” 난 큰 소리로 말했다.

아이가 바보 같은 것 같았지만 남자를 봤다.

Does it mean the child looked dumb(..? ? )

남자는 너무 너무 죄송하다고 했는데 아주 늙기,, 남자는 아주 나이가 많아 보였고 눈이도 나쁘기, 그리고빠보였다. 게다가 가게가 문을 닫는 것을 때까지 15분밖에 없었어서, 나는 걱정하지 않는기 때문에 나는 괜찮다고 했다.

이후에, 가게으로 걸어가는 것을 계속했(나는) 가게를 향해 계속 걸어갔다.

지금 10분 정도 가게 문을 닫는 것까지 있는데가게가 문을 닫기 까지 10분 정도 남았었을 때였는데, 나는 가게가 닫기 전에 도착할 거다라고 생각한했다.

하지만 말이상하게도, 말 한 마리가 길 중앙에 이상하게 서있었다.

Original sentence is grammatically correct, but I think it's more natural this way. Think of it this way:)
There was strangely a horse in the middle of the road.
--> Strangely, a horse was standing in the middle of the road.

나는 잠시 기다려 봤지만, 말이 안 갔어서 화가지 않아 화가 나기 시작했다.

“아직 안 간다말이 움직이지 않아요!” 내가 외쳤고, 말 주인이 들었다.

주인이 나로에게 왔고 엄격정중히 사과했고 말이 가져다. 그리고 말을 데려갔다.

말 is an object of this sentence, so 을/를 should be used

지금그제서야 (나는) 갈 수 있었다.

“가게에 너무 가깝다.” 그런 다음이제 거의 다 왔어!” 하지만 가게의 문이 닫혔다. (or 주인이 가게의 문을 닫았다.)

Active verb/ Passive verb