冷蔵庫から、昨日の買った鶏もも肉の解凍のため、流し台に置きました。

「昨日の買った鶏もも肉」でも意味はもちろん通じますが、「昨日買った鶏もも肉」の方がより自然に聞こえると思います。
ちなみに親子丼の作り方について詳しく知らないですが、「解凍」は凍った物を柔らかく溶かすことなので、冷凍庫から取り出すことがより一般的に感じるのですが、いかがでしょうか。
冷凍庫→冷蔵庫：解凍
冷凍庫→流し台：解凍
冷蔵庫→流し台：室温に戻す
みたいなイメージです。

簡単に切りやすくなったところで、フライパンをコンロに置いて、中火をつけて、一口大に切ったまでの鶏もも肉をパンに置きました焼きます。

「フライパン」を「パン」とは言わないですね。また、料理の工程で「フライパンに肉を置く」といった表現はあまり聞かない気がします。
ちなみに、
焼く：焦げ目がつくように肉を熱する
炒める：焦げ目は付けず肉を熱する
といった感じです。

でもそれだけならじゃ美味しくないから、その前に調味料もも加えます。

丁寧な言い方にすると、「でもそれだけでは美味しくないので、～」となります。
元の文章は口語っぽい感じですね。

みりん、と醬油と料理酒ですね。

英語だと最後にだけ”and”を入れると思いますが、日本語はあまりそういったルールはない気がします。
「みりん、醤油、料理酒ですね。」でも良いです。

同時に玉ねぎにをみじん切りにして、フライパンに入れて、ふたをしました。

どこに入れるかを書くと、よりわかりやすいと思ったので、フライパンを加えました。
ちなみに、「同時に」以外にも、「並行して」「併せて」「その間に」等と書いても良いと思います。（個人的には「並行して」が合うような気がします。）

その間に、３個の卵を一つずつに、器に割り入れって溶いきました。

「割り入れて」も言いたいことはわかりますが、「割って」の方が自然に聞こえます。
また、全体的にシンプルに、「卵を３個ボールに割って溶きました」と書くこともできます。
ちなみに、日本語で「ボール」は、「玉」という意味の他に、料理で使う銀色の容器を言います。

白身が見えなかくなったら、卵がを溶き終わります。

「白身が見えなかったら」は過去のある一時のことを指しているイメージで、
「白身が見えなくなったら」は過去にある行動をしていて徐々に見えなくなるイメージ（時間に幅がある）です。

鶏肉に火が通ってきたところで、卵を３分の２量に入れて、1分ほどしてから、残りの3分の1分にを回し入れました。

「量」や「分」を書きたい気持ちはとても分かりますが、ここでは特になくても意味は十分伝わります。
もし書くとしたら、「卵を３分の２の量入れて、１分ほどしてから、残りの分を回し入れました。」とすることができます。

どんぶり一杯分のご飯をよそって、フライパンから盛りました。

「盛りました」ではなくて、「入れました」「具材をのせました」と書いても良いと思います。

冷蔵庫から、昨日の買った鶏もも肉のを解凍のため、流し台に置きました。

簡単に切りやすくなったところで、フライパンをコンロに置いて、中火をでつけて、一口大に切ったまでの鶏もも肉をフライパンに置き入れました。

でもそれだけなら美味しくないから、その前に調味料もも加えます。

同時に玉ねぎにをみじん切りにして、入れて、ふたをしました。

その間に、３個の卵を一つずつに、器に割り割って器に入れて溶いきました。

白身が見えなかくなったら、卵が溶き終わります。

鶏肉に火が通ってきたところで、卵を３分の２量に入れて、1分ほどしてから、残りの3分の1分にを回し入れました。

どんぶり一杯分のご飯をよそって、フライパンから盛りました。

冷蔵庫から、昨日の買った鶏もも肉の解凍のをするため、流し台に置きました。

簡単に切りやすくなったところで、フライパンをコンロに置いて、中火をつけてで、一口大に切ったまでの鶏もも肉をフライパンに置きました。

でもそれだけなら美味しくないから、その前に調味料もも加えます。

その間に、３個の卵一つずつに、を器に割り入れて溶いきました。

鶏肉に火が通ってきたところで、卵を３分の２量にの量を入れて、1分ほどしてから、残りの3分の1分にを回し入れました。

どんぶり一杯分のご飯をよそって、フライパンから盛りました。

これでが、完璧な親子丼です！